Blog

Работа с функциями: обнаружение максимума и минимума OTUS

Точки и
не могут быть точками
экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке
производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке –
с минуса на плюс. Следовательно, –
точка максимума, а точка –
точка минимума функции. \(\blacktriangleright\) Если производная в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” , то эта точка является точкой минимума. Также, если производная \(f’\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)! Теорема 2 (необходимое
условие экстремума).

Как вы уже заметили, значения х и у одновременно увеличиваются — функция возрастает на всем промежутке. Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке. 3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . Производная – это предел изменения функции при стремящемся к нулю изменении аргумента.

Экстремумы функций, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в
момент достижения им минимального или максимального показания. Под
понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается
значение https://goforex.info/blog-trejdera/ozhidanie-otskoka-ceny-ot-silnogo-urovnya.html функции (у). Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь
несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так,
для функции изображённой на рисунке выше, .

• Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
• Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная
  функция чётная, так как .
• И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)). Для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет. Точка минимума
– это точка, в которой достигается минимальное значение функции. Как
видите, этот признак экстремума функции
требует существования производной как
минимум до второго порядка в точке .

Возрастание и убывание функции

На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения . Например, для точки \(C\) за окрестность можно взять интервал \((3;5)\) или даже \((2;6)\), а можно совсем маленький — \((4-0,01;4+0,01)\). В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа). Точек пересечения с осями график функции не имеет.

Отрицательное значение говорит о том, что функция здесь убывает. Аналогично положительная производная говорит о возрастании f(x). Так как должно выполняться неравенство
, то из
получаем
. Экстремумом
называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок.

• Точка экстремума функции – это точка области определения функции, в которой
  значение функции принимает минимальное или максимальное значение.
• Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции).
• Ведь экстремумы – это довольно-таки простая тема.

В этом случае говорят, что функция имеет в точке
x2 минимум. Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Будь первым, кто ответит на вопрос

Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций. Аналогично, максимум нашей функции равен . Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство . Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство . Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная .

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами. Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.

Это означает, что в точке, при пересечении которой
функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее
максимум. Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная
начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к
поиску точки максимума для функции, указанной в задании. Точки, в которых первая
производная равна нулю или не существует, называют критическими точками первой
производной. Если функция имеет экстремумы, то они могут быть только в
критических точках. Точки
максимума и минимума называются точками
экстремума
, а значения
функции в этих точках – ее экстремумами.

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется
определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого
графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями»
производной. В этом случае данная точка, которая
пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами,
максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта
точка носит название точки экстремума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или
минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются
минимальные или максимальные значения. Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку.

\(\blacktriangleright\) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует. Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума. Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках. То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции. Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции. Итоговый экзамен по математике для выпускников 11-х классов обязательно включает задания на поиск точек максимума и минимума функциональных зависимостей.